Prova geométrica do TFC

Dica de Livro: Estudos de Sequências Numéricas

A pedido de Ricardo José da Silva, autor dos livros "Sequência Numéricas Mágicas" e "Os Fantásticos Números Primos", o BLOG MANTHANO divulga para seus leitores o seu novo livro intitulado Estudos de Sequências Numéricas. Segue o texto de divulgação informado pelo autor:

O livro apresenta novos estudos de sequências numéricas de números: naturais, triangulares, quadrados e perfeitos.

Você leitor, verá que um número diminuído da soma dos seus algarismos tem como resultado um número divisível por 3 e por 9. Como determinar um múltiplo de 3 por meio de uma fórmula simples e rápida.

Outros estudos interessantes apresentados são sobre a soma de números entre os intervalos de um múltiplo de um número, a soma do primeiro intervalo de números consecutivos e a soma do primeiro intervalo de números ímpares consecutivos.

E também estudos sobre a decomposição em fatores primos de números perfeitos e suas relações com a potência de base 2;

E ainda estudos dos produtos de números ímpares consecutivos, os quais revelam a relação entre números quadrados, uma potência de base 2, números divisíveis por 3 e números primos.

Um livro destinados aos profissionais, estudantes e aos apaixonados por esta maravilhosa ciência: a Matemática.

Mais informações 
Livro digital: Estudos de Sequências Numéricas
Autor: Ricardo José da Silva
Site: http://estudosdesequenciasnumericas.blogspot.com.br/

*o BLOG MANTHANO não tem envolvimento algum com a produção, compra, venda, pagamento, recebimento e/ou entrega  deste produto.

Como provar que log de 2 é irracional?

Em postagens anteriores, tivemos ocasião de apresentar demonstrações para a irracionalidade de raiz de dois e para a irracionalidade de pi. Respondendo a pergunta de um leitor, demonstraremos, nesta postagem, a seguinte

Proposição: o número $$\log_{10}2$$ é irracional.

Para tanto, utilizaremos a técnica da "prova por contradição": assumiremos que aquilo o que queremos provar é falso e deduziremos, por meio de procedimentos matemáticos válidos, um absurdo. O absurdo será construído com base na lei da tricotomia.

Lei da tricotomia: se $$p$$ e $$q$$ são números inteiros, então uma, e somente uma, das seguintes possibilidades ocorre: $$q<p$$ , $$q>p$$ ou $$q=p$$ .

Vamos, então, para a prova da proposição:

Se $$\log_{10}2$$ é um número racional, então existem inteiros $$p>0$$ e $$q\neq 0$$ tais que

$$\frac{p}{q}=\log_{10}2$$

Segue da igualdade acima que

$$10^{\frac{p}{q}}=10^{\log_{10}2}$$

Pelas propriedades dos logaritmos, obtemos:

$$10^\frac{p}{q}=2$$

Elevando ambos os lados à q-ésima potência:

$$\left( 10^\frac{p}{q}\right)^q=2^q$$

Simplificando o lado esquerdo:

$$10^p=2^q$$

Como $$10=2\cdot 5$$ , concluímos que:

$$(2\cdot 5)^p=2^q$$

Pelas propriedades das potências:

$$2^p\cdot 5^p=2^q$$

Fazendo permanecer apenas o número $$5^p$$ no primeiro membro:

$$5^p=\frac{2^q}{2^p}$$

Pelas propriedades das potências:

$$5^p=2^{q-p}$$

Conforme mencionamos no início, $$p$$ é um inteiro estritamente positivo. Portanto, o lado esquerdo da última igualdade é um número inteiro. Consequentemente, o lado direito também é um inteiro. Note que se tivéssemos $$q<p$$ , então o expoente do $$2$$ seria negativo e, consequentemente, o lado direito da última igualdade não seria um inteiro (pois estaria entre zero e um). Logo $$q<p$$ não é possível;

Se, de outro modo, tivéssemos $$q>p$$ , então o lado esquerdo da última igualdade seria um número inteiro múltiplo de dois e, consequentemente, o lado esquerdo também seria. Mas o lado esquerdo não é um múltiplo de dois, pois ele é da forma $$5\cdot 5\cdots 5$$ (com $$p$$ parcelas iguais a cinco e nenhuma igual a dois). Logo $$q>p$$ não é possível;

Por fim, se tivéssemos $$p=q$$ , então teríamos $$5^p=2^{p-p}=2^0=1$$ . Seguir-se-ia que $$5=\sqrt[p]{1}=1$$ - o que, como sabemos, não é verdade. Logo $$q=p$$ também não é possível.

Em resumo: não temos $$q<p$$ , nem $$q=p$$ e nem $$q>p$$ . Mas isso é um absurdo, pois viola a lei da tricotomia. Logo a nossa hipótese deve ser falsa e, portanto, sua negação é verdadeira, ou seja, $$\log_{10}2$$ é irracional.

Desafio para o leitor: prove que o número $$\log_{10}\sqrt{2}$$ é irracional. Dica: use propriedades dos logaritmos e a proposição que acabamos de provar.

Referências: adaptado de alguns sites.

Erros podem ser relatados aqui.

Primos e Pombos

Dica de Livro: Sequências Numéricas Mágicas

A pedido de Ricardo José da Silva, o BLOG MANTHANO divulga para seus leitores o livro  Sequências Numéricas Mágicas. Segue o texto de divulgação informado pelo autor:

Chega ao mercado o novo livro digital que apresenta um novo método em dispor números naturais em formas de triângulos e quadrados nos quais se conseguem exprimir números triangulares, quadrados e cúbicos.

Um novo método de se produzir sequências numéricas semelhantes AO TRIÂNGULO DE PASCAL, através de figuras geométricas de triângulos e quadrados.

Os números são entidades fantásticas, são como a alma das coisas, eles estão em tudo e em todos os lugares: no despertar de uma nova vida, no cosmos, na flora, na fauna, para onde quer que olhamos ou estejamos, lá estão eles.  

O quê figuras geométricas têm em comum com números? 

Como as figuras geométricas se relacionam com os números? 

Sequências Numéricas Mágicas aborda através de vários exemplos com gráficos e tabelas um estudo de como gerar números triangulares e a sua relação com números quadrados, cúbicos e vice-versa, utilizando-se como base, figuras de triângulos e quadrados.

Aborda também de forma minuciosa, múltiplos de números formados por somas de números ímpares consecutivos e não consecutivos. E também números quadrados e cúbicos gerados através de somas de números ímpares consecutivos por meio da figura geométrica  de um quadrado. 

Desejo que o livro desperte em você leitor, o quanto os números são incríveis em suas sequências numéricas. 

Um livro destinados aos amantes da matemática e também àqueles que estão galgando nessa maravilhosa ciência.

Mais informações 
Livro digital: Sequências Numéricas Mágicas
Autor: Ricardo José da Silva
Site: http://sequenciasnumericasmagicas.blogspot.com.br/

*o BLOG MANTHANO não tem envolvimento algum com a produção, compra, venda, pagamento, recebimento e/ou entrega  deste produto.

Como contar o infinito?

Festival do Minuto

O Festival do Minuto foi criado no Brasil em 1991, tendo inspirado a criação de festivais do minuto em mais de 50 países, e propõe a produção de vídeos de até um minuto de duração. Em 2007 tornou-se permanente e online, recebendo os vídeos pela internet. Periodicamente são lançados concursos com temas específicos e os melhores trabalhos são premiados.

Todos os vídeos são avaliados por uma equipe de curadores. A nota da curadoria está expressa através dos reloginhos, a do público pelas estrelinhas. O Festival do Minuto poderia também ser chamado do Festival da Ideia, já que este é o critério mais relevante que usamos na avaliação dos vídeos. 

O que importa é fazer um vídeo com uma BOA IDEIA.

Offline, o Festival é exibido anualmente em mais de 300 centros de cultura de 200 cidades brasileiras.

Esse ano o Festival do Minuto abriu mais uma edição do “Minuto Escola”, concurso específico para alunos e professores dos Ensinos Fundamental e Médio. São R$ 3.000 em prêmios para os melhores videos. 

A diferença dessa edição de 2013 para as anteriores é que agora aceitamos inscrições de alunos e professores de escolas públicas e particulares de todo o mundo.

Divididos em 3 categorias – alunos do Ensino Fundamental, alunos do Ensino Médio e Professores –, os interessados devem produzir um vídeo de um minuto com temática livre.

INSCRIÇÕES

As inscrições estão abertas e podem ser feitas até 30 de agosto. 

Os alunos do Ensino Médio e professores devem se inscrever pelo site www.festivaldominuto.com.br; e alunos do Ensino Fundamental pelo www.minuteen.com.br.

PRÊMIOS

1 prêmio de R$ 1.000 para a categoria Alunos do Ensino Fundamental (Minuteen)

1 prêmio de R$ 1.000 para a categoria Alunos do Ensino Médio 


1 prêmio de R$ 1.000 para a categoria Professores

ESCOLA DO MINUTO

Para ajudar, temos um portal na internet com dicas e aulas online sobre a produção de vídeos e linguagem audiovisual, o Escola do Minuto – www.escoladominuto.com.br. 

Referências: as informações acima expressas foram transcritas/adaptadas do site do evento e de e-mail de divulgação.

2º Editorial - Hibernando novamente...

O objetivo desta postagem é, simplesmente, avisar os leitores de que estamos hibernando novamente. Tal qual da primeira vez, possivelmente algo simples poderá ser publicado aqui em algum raro momento. De qualquer modo, agradecemos a visita e comentários de todos os leitores que, inclusive, continuam sendo muito bem vindos.

Erros podem ser relatados aqui.

Fonte da imagem.

Um novo olhar sobre os números pitagóricos

Um problema, várias soluções (continuação)

Uma conta simplista e ingênua ou "como acabar com a fome"

EDO linear de primeira ordem: exercícios resolvidos (passo a passo) / Parte 1

Exercício de cálculo resolvido passo a passo - diferencial total (dúvida do leitor)

Um problema, várias soluções

Entrevista com BLOG MANTHANO

Prêmio Wolf de Matemática 2013

Dica de site: Matemática Rio

Dica de Livro: Os Fantásticos Números Primos