Na verdade a pergunta do modo como está formulada não faz muito sentido, pois ∞ não é um número (e, geralmente, quando falamos em potências estamos lidando com números). Mas vamos explicar o que ela está querendo significar. Para tanto observe a seguinte tabela que mostra o caso do título (o caso em que a = 2 e b = 2):
A tabela acima nos sugere que a partir da quinta linha o número 2n é sempre maior do que o número n². Deste modo, para números arbitrariamente grandes sempre temos 2n > n². Daí vem a "brincadeira" da figura inicial, na qual escrevemos 2∞ > ∞² (o que, no nosso texto, significa que para um natural m suficientemente grande sempre tem-se 2n > n², desde que n seja maior do que m. Neste caso, olhando para a tabela concluímos que é suficiente que m seja igual a quatro. Em outros termos: se n > 4 então 2n > n²).
Vejamos agora um outro caso, o caso em que a = 5 e b = 8:
Neste caso, conforme nos sugere a tabela, o número 5n só será maior do que n8 a partir da décima terceira linha.
Vejamos um terceiro caso, no qual a = 3 e b = 8.
No caso acima, a tabela nos induz a crer que é necessário n ser maior do que vinte e dois para se ter 3n > n8.
Comparando as tabelas podemos notar que, aparentemente, quanto mais b for maior do que a, tanto mais vai demorar para que se tenha an > nb (se colocássemos, por exemplo, a = 2 e b = 25 então a referida desigualdade só ocorreria na centésima noningentésima linha!). Imagine, agora, se colocássemos a = 2 e b = 1000000. Será que haveria uma linha a partir da qual 2n seria sempre maior do que n1000000? Com esta motivação fazemos a seguinte
PERGUNTA: Para quaisquer que sejam os valores de a e b (desde que seja a > 1 e b ∈ ℕ) sempre existe uma linha a partir da qual an > nb (independentemente de quão maior do que a seja b)? Em outros termos: escolhendo de modo totalmente arbitrário os valor de a e b, exceto pela restrição já mencionada, sembre é possível encontrar um natural m tal que an é maior do que nb para todo natural n maior do que m?
Dizer que não significa que é possível montar uma tabela (parecida com aquelas que foram apresentadas acima) na qual, numa mesma linha, o valor da coluna central será sempre menor do que o valor da coluna da direita. Por outro lado, dizer que sim significa que em qualquer tabela, se escrevermos um número suficiente de linhas vamos encontrar uma delas a partir da qual o valor da coluna central será sempre maior do que o valor da coluna da direita.
Confira uma resposta em breve aqui no BLOG MANTHANO.
Observação: grosso modo, pode-se dizer que para qualquer natural k, k∞ é infinito assim como ∞k, logo não faz sentido dizer que um é maior do que o outro. Então, que fique claro: quando usamos o "infinito" nas perguntas, nas desigualdades e nas tabelas acima ele representou um número arbitrariamente grande.
Referências: na postagem da solução.
Erros podem ser relatados aqui.
Vejamos agora um outro caso, o caso em que a = 5 e b = 8:
Vejamos um terceiro caso, no qual a = 3 e b = 8.
Comparando as tabelas podemos notar que, aparentemente, quanto mais b for maior do que a, tanto mais vai demorar para que se tenha an > nb (se colocássemos, por exemplo, a = 2 e b = 25 então a referida desigualdade só ocorreria na centésima noningentésima linha!). Imagine, agora, se colocássemos a = 2 e b = 1000000. Será que haveria uma linha a partir da qual 2n seria sempre maior do que n1000000? Com esta motivação fazemos a seguinte
PERGUNTA: Para quaisquer que sejam os valores de a e b (desde que seja a > 1 e b ∈ ℕ) sempre existe uma linha a partir da qual an > nb (independentemente de quão maior do que a seja b)? Em outros termos: escolhendo de modo totalmente arbitrário os valor de a e b, exceto pela restrição já mencionada, sembre é possível encontrar um natural m tal que an é maior do que nb para todo natural n maior do que m?
Dizer que não significa que é possível montar uma tabela (parecida com aquelas que foram apresentadas acima) na qual, numa mesma linha, o valor da coluna central será sempre menor do que o valor da coluna da direita. Por outro lado, dizer que sim significa que em qualquer tabela, se escrevermos um número suficiente de linhas vamos encontrar uma delas a partir da qual o valor da coluna central será sempre maior do que o valor da coluna da direita.
Confira uma resposta em breve aqui no BLOG MANTHANO.
Observação: grosso modo, pode-se dizer que para qualquer natural k, k∞ é infinito assim como ∞k, logo não faz sentido dizer que um é maior do que o outro. Então, que fique claro: quando usamos o "infinito" nas perguntas, nas desigualdades e nas tabelas acima ele representou um número arbitrariamente grande.
Referências: na postagem da solução.
Erros podem ser relatados aqui.
Muito bom seu blog amigo, os assuntos são muito interessantes e realmente despertam o interesse em matemática(isto é, para quem não o tem), por se tratar de problemas, situações com que estamos mais familiarizados, além de ser um tanto quanto curioso e divertido navegar nas suas postagens.
ResponderExcluirAbraço e boa tarde
Fantástica a clareza da exposição. Parabéns 👏! Se a maioria dos professores de Matemática tivessem esse talento de exposição, teríamos muito mais matemáticos no mundo.
ResponderExcluirimport numpy as np
ResponderExcluirimport matplotlib.pyplot as plt
# Função para calcular a quantidade de algarismos de n^k
def quantidade_algarismos_n_k(n, k):
return np.floor(k * np.log10(n)) + 1
# Função para calcular a quantidade de algarismos de k^n
def quantidade_algarismos_k_n(n, k):
return np.floor(n * np.log10(k)) + 1
# Definindo a potência k e o valor máximo de n
k = 5 # Potência/base que pode ser alterada
max_n = 200 # Máximo valor de n, pode ser alterado
# Gerando valores de n (de 1 até max_n)
n_values = np.arange(1, max_n + 1)
algarismos_n_k = quantidade_algarismos_n_k(n_values, k) # algarismos de n^k
algarismos_k_n = quantidade_algarismos_k_n(n_values, k) # algarismos de k^n
# Encontrar o primeiro n onde k^n passa a ter SEMPRE mais algarismos que n^k
first_n_k_n_maior = None
for i in range(len(n_values)):
# A partir de n_values[i], verificar se k^n > n^k para todos os n seguintes
if np.all(algarismos_k_n[i:] > algarismos_n_k[i:]):
first_n_k_n_maior = n_values[i]
break
# Mostrar essa informação no console
if first_n_k_n_maior is not None:
print(f"O primeiro valor de n em que {k}^n passa a ter sempre mais algarismos que n^{k} é n = {first_n_k_n_maior}")
else:
print(f"Dentro do intervalo até n = {max_n}, não há um n onde {k}^n seja permanentemente maior que n^{k} em algarismos.")
# Criando o gráfico com dois eixos y
fig, ax1 = plt.subplots(figsize=(10, 6))
# Gráfico para n^k (eixo y à esquerda)
ax1.plot(n_values, algarismos_n_k, label=f'Qtd. algarismos de n^{k}', color='blue')
ax1.set_xlabel('n')
ax1.set_ylabel(f'Qtd. algarismos de n^{k}', color='blue')
ax1.tick_params(axis='y', labelcolor='blue')
ax1.set_ylim(bottom=0)
# Criando o segundo eixo y à direita para k^n
ax2 = ax1.twinx()
ax2.plot(n_values, algarismos_k_n, label=f'Qtd. algarismos de {k}^n', color='red', linestyle='--')
ax2.set_ylabel(f'Qtd. algarismos de {k}^n', color='red')
ax2.tick_params(axis='y', labelcolor='red')
ax2.set_ylim(bottom=0)
# Título
ax1.set_title(f'Comparação da quantidade de algarismos de n^{k} e {k}^n (1 ≤ n ≤ {max_n})')
# Legendas
ax1.legend(loc='upper left')
ax2.legend(loc='lower right')
# Grid
ax1.grid(True)
# Se existir tal n, marca no gráfico
if first_n_k_n_maior is not None:
# Pega os valores nesse n
y_n_k = algarismos_n_k[first_n_k_n_maior - 1]
y_k_n = algarismos_k_n[first_n_k_n_maior - 1]
# Marca um ponto nos dois gráficos
ax1.scatter(first_n_k_n_maior, y_n_k)
ax2.scatter(first_n_k_n_maior, y_k_n)
# Adiciona um texto explicando
ax1.annotate(
f"n = {first_n_k_n_maior}",
xy=(first_n_k_n_maior, y_n_k),
xytext=(first_n_k_n_maior, y_n_k + 2),
arrowprops=dict(arrowstyle="->")
)
plt.show()
Código em python gerado pelo chatGPT gratuito que gera um gráfico com a quantidade de algarismos de cada termo com escala diferente.
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